线性代数的矩阵可以看做一个系统，一个 input 被矩阵进行转换，从而产生出一个 output，就好像函数，线性代数研究的就是矩阵系统，矩阵是线性代数中的一等公民，就好像函数是函数式编程中的一等公民，因此需要从更高层面看矩阵，而非关注矩阵中的具体某个数字。

既然是把矩阵当成一个系统来研究，那就需要从最简单的矩阵研究起，也就是 Identity 矩阵（简称 $I$ ），这个矩阵的作用就是对 input 什么都不做，直接变成 output。 就好像函数中 Identity function ，f(x) = x 。

两个矩阵相乘 $AB$，从工程上的观点来讲，就是把 input 先输入到 $B$，出来的结果再输入到 $A$，从而得到最后的结果，就像函数式编程中的函数一样： $g \cdot f$ 。

所以矩阵中存在 逆矩阵( inverse )，也就是 $AB = I$ ， 也就是 input 先进入 $B$，再进入 $A$，得到的结果还是 input。 在工程上，这个很有用，相当于输入被某个系统作用后，可以再被某个系统还原回来。工程上如果能通过研究一个系统 $A$，得到它的 逆系统 $B$，那就相当给力了，覆水不再难收，时光可以回流，比如可以用来做回滚，也就是如果发布了东西出现了问题，没关系，把这个结果再输入另外一个系统，就能还原。所以线性代数需要研究 invert 矩阵。

矩阵相乘满足结合律 $A(BC) = (AB)C$ 。满足分配率 $A(B+C) = AB + AC$。但不满足交换律 $ABC = CBA$ 。要知道交换律在工程上是很难的，如果某些操作满足交换律，就说明操作的顺序可以任意更改，没有因果关系，时序任意，随意并发。因此在工程上的操作能满足交换律是很难得的，但往往很难如工程师的愿，比如矩阵操作，就不满足交换律。

同时还可以进一步研究矩阵的一些线性相关性质。比如矩阵中的各个列( column )，是否是线性相关的，如果是线性相关的，说明矩阵中有些信息是冗余的，就好像在方程组中的，有些方程和另外一些方程的信息量是一样的。这样有存在列线性相关（dependent）的矩阵，称为 singular 。 相反，非线性相关（independent）的称为 nonsingular 矩阵。 我们会说 nonsingular 矩阵是『好矩阵』，因为矩阵中的每个列都是非线性相关的，没有冗余信息。

同时还有一些矩阵，比如 上三角矩阵（对角线下面的都是 0，0 组成了一个正三角，简称 U），下三角矩阵（对角线上面都是 0，0 组成了一个倒三角，简称 L）。

对于一个线性系统 $A$（$A$ 是矩阵）， 对于一个输入 $x$， 输出 $y$， 那么就可以表达成 $Ax = y$ 。 对于这样的一个系统 $A$， 我们可以研究它，通过高斯消去法，把 $A$ 分解成 $A = LU$ 的形式。相当于一个系统可以被分解成两个系统的连续作用， 这样就方便了工程上对系统的理解。类似于编程，把复杂的东西拆解成一个个模块，方便理解、推理和维护。