Orthonormal Bases

对于一个给定的空间 $R^n$，有无限多的基。 每组基都可以线性组合成该空间的向量。 在这么多组基中，最好的基，就叫做 Orthonormal Bases，常用 $q_1, q_2,… q_n$ 来表示。

夹角与垂直

两个向量的夹角为： $$ \cos\theta = \frac{a^Tb}{\parallel{a}\parallel\parallel{b}\parallel} $$

两个向量正交，则内积 $a^Tb = 0$。

向量投影到向量

向量 $b$ 投影到向量 $a$，可以形象的理解成 $b$ 会按照与 $a$ 垂直的方向投射到 $a$ 上。所以 $b$ 投影到 $a$ 的结果是一个与 $a$ 方向一样的向量，我们称为 $p = \hat{x}a$，其中 $\hat{x}$ 为标量。 因此有 $(b-p) \perp a$，也就是他们的内积为 0： $a^T(b - \hat{x}a) = 0$ 。可以进一步推导出 $a^Tb - \hat{x}a^Ta = 0$ ，因此： $$ \hat{x} = \frac{a^Tb}{a^Ta} $$ 投影结果 $p$ 就为： $$ p = \hat{x}a = \frac{a^Tb}{a^Ta} a = a \frac{a^Tb}{a^Ta} = \frac{aa^T}{a^Ta}b $$

给定一个方程式 $Ax = b$，我们需要回答几个基本问题：

• $x$ 是否存在解？
• 如果存在的话，解是否唯一？
• 需要满足什么条件，才能让方程式有解？
• 如果有解的话，如何找到所有满足方程式的解 $x$

也可以把上面这几个问题从工程的观点上进行提问：

线性代数的矩阵可以看做一个系统，一个 input 被矩阵进行转换，从而产生出一个 output，就好像函数，线性代数研究的就是矩阵系统，矩阵是线性代数中的一等公民，就好像函数是函数式编程中的一等公民，因此需要从更高层面看矩阵，而非关注矩阵中的具体某个数字。

在我看来,

合格的代码追求正确性，优秀的代码追求与人交流，追求表达意图，追求用户体验。

写代码关注用户体验，就是关注琢磨自己的代码，对于使用者和读者：